Taille des valeurs de fonctions $L$ de carrés symétriques au bord de la bande critique

On prouve l’existence, pour tout poids $k$ et tout niveau $N$ sans facteur carré et sans petit facteur premier, de formes primitives $f_+$ et $f_-$ de poids $k$ et de niveau $N$ telles que $L(1,\mathrm{sym}^2f_+)\gg_{k}(\log\log(3N))^{3}$ et $L(1,\mathrm{sym}^2f_-)\ll_{k}(\log\log(3N))^{-1}$. L’existence de ces formes est déduite d’une étude minutieuse des moments de $L(1,\mathrm{sym}^2f)$. Cette étude permet aussi de traîter le cas des niveaux sans facteur carré mais avec petits facteurs premiers. On en déduit un contre-exemple à l’équivalence entre moyennes harmonique et naturelle.

Article de revue

Revista Matemática Iberoamericana 21, No. 1, 263-312