Arithmétique de la 4è à la Terminale

Des exposés donnés à l’hiver 2025 dans des classes du Collège Stanislas, établissement français (réseau AEFE) de Montréal au Québec, Canada

• Un exposé (50min) donné à tous les élèves de 4è :
  • qu’est-ce qu’un nombre premier ?
  • le crible d’Eratosthène,
  • que signifie l’énoncé “il existe une infintié de nombres entiers ayant telle propriété” ?
  • la preuve d’Euclide de l’infinité du nombre de nombres premiers,
  • existe-t-il une infinité de nombres premiers de Germain ?
  • factorisation ;
• un exposé (1h, pendant la pause repas) pour les élèves de première et terminale :
  • la preuve d’Euclide de l’infinité des nombres premiers,
  • une preuve topologique par Fürstenberg (pas présentée par manque de temps),
  • détecter les nombres premiers : divisions successives et crible d’Eratosthène,
  • le petit théorème de Fermat,
  • test de primalité par le petit théorème de Fermat,
  • nombres de Carmichael,
  • mathématiques expérimentales : découvrir l’approximation du nombre de nombres premiers inférieurs à $x$ faite par Gauss lorsqu’il avait 15 ans,
  • qualité de l’approximation,
  • une conjecture plus tardive de Gauss,
  • le rôle de Hadamard et de la Vallée Poussin,
  • des questions non résolues :
    • les nombres premiers jumeaux,
    • James Maynard et DHK Polymath,
    • les nombres de Germain,
    • Sophie Germain ;
• un exposé (1h45) pour les élèves de terminale qui suivent l’option maths expertes :
  • arithmétique modulaire,
  • le petit théorème de Fermat,
  • la notion de groupe,
  • les inversibles modulo le produit de deux nombres premiers,
  • les rotations,
  • les nombres complexes (non fait par manque de temps),
  • le protocole RSA,
  • les courbes elliptiques,
  • la loi de groupe sur les courbes elliptiques,
  • cryptographie par courbe elliptique (passé très rapidement par manque de temps).